普通型 OGF

闭形式 泰勒展开 (形式幂级数) 系数 / 含义
11−x\dfrac{1}{1-x} ∑n=0∞xn\sum_{n=0}^{\infty}x^n an=1a_n=1
x1−x\dfrac{x}{1-x} ∑n=1∞xn\sum_{n=1}^{\infty}x^n 上式再乘一个 xx
11−x6\dfrac{1}{1-x^6} 1+x6+x12+⋯1+x^6+x^{12}+\cdots 令 x=x3x=x^3
1−x61−x\dfrac{1-x^6}{1-x} 1+x+x2+x3+x4+x51+x+x^2+x^3+x^4+x^5
11−ax\dfrac{1}{1-ax} ∑n=0∞anxn\sum_{n=0}^{\infty}a^nx^n 等比数列
1(1−x)k\dfrac{1}{(1-x)^k} ∑n=0∞(n+k−1k−1)xn\sum_{n=0}^{\infty}\binom{n+k-1}{k-1}x^n 广义二项式定理，nn 个球放入 kk 个盒子方案数
x(1−x)2\dfrac{x}{(1-x)^2} ∑n=1∞n⋅xn\sum_{n=1}^{\infty}n\cdot x^n
x(x+1)(1−x)3\dfrac{x(x+1)}{(1-x)^3} ∑n=1∞n2⋅xn\sum_{n=1}^{\infty}n^2\cdot x^n
(1+x)n(1+x)^n ∑i=0n(ni)xi\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}x^i 二项式系数（有限项）
(1−x)α(1−x)^{\alpha} ∑n=0∞(−1)n(αn)xn\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\binom{\alpha}{n}x^n 广义二项式系数
x1−x−x2\dfrac{x}{1-x-x^2} ∑n=0∞Fnxn\sum_{n=0}^{\infty}F_nx^n（其中 F0=0F0=0，F1=1F1=1） 斐波那契数列
11−4x\dfrac{1}{\sqrt{1-4x}} ∑n=0∞(2nn)xn\sum_{n=0}^{\infty}\binom{2n}{n}x^n 中心二项式系数
1−1−4x2x\dfrac{1-\sqrt{1-4x}}{2x} ∑n=0∞1n+1(2nn)xn\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}x^n 卡特兰数
1−4x\sqrt{1-4x} $1-2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\binom{2n-2}{n-1}x^n$ 展开后代入卡特兰数公式
∏i=1∞11−xi\prod_{i=1}^{\infty}\dfrac{1}{1-x^i} ∑n=0∞p(n)xn\sum_{n=0}^{\infty}p(n)x^n 分拆数（利用五边形数定理递推）
∏i=1∞(1−xi)\prod_{i=1}^{\infty}(1-x^i) $1+\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k(x^{\frac{k(3k-1)}{2}}+x^{\frac{k(3k+1)}{2}})$ 欧拉五边形数定理
xk∏i=1k(1−ix)\dfrac{x^k}{\prod_{i=1}^k(1-ix)} ∑n=k∞S(n,k)xn\sum_{n=k}^{\infty}S(n,k)x^n 第二类斯特林数 OGF

指数型 EGF

闭形式 泰勒展开 (形式幂级数) 系数 / 含义
exe^x ∑n=0∞xnn!\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!} an=1a_n=1
eaxe^{ax} ∑n=0∞anxnn!\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{a^nx^n}{n!} 带权排列
11−x\dfrac{1}{1-x} ∑n=0∞n!⋅xnn!\sum_{n=0}^{\infty}n!\cdot\dfrac{x^n}{n!} an=n!a_n=n!（排列数）
−ln⁡(1−x)−ln⁡(1−x) ∑n=1∞xnn\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{n} 或 ∑n=1∞(n−1)!⋅xnn!\sum_{n=1}^{\infty}(n-1)!\cdot\dfrac{x^n}{n!} 循环排列数 (n−1)!(n−1)!
e−x1−x\dfrac{e^{-x}}{1-x} ∑n=0∞Dnxnn!\sum_{n=0}^{\infty}D_n\dfrac{x^n}{n!}，Dn=n!∑i=0n(−1)ii!D_n=n!\sum_{i=0}^n\dfrac{(-1)^i}{i!} 错排数
eex−1e^{e^x-1} ∑n=0∞Bnxnn!\sum_{n=0}^{\infty}B_n\dfrac{x^n}{n!} 贝尔数
12−ex\dfrac{1}{2-e^x} ∑n=0∞Fn∗xnn!\sum_{n=0}^{\infty}F_n^*\dfrac{x^n}{n!} 有序贝尔数（偏好排列数）
(ex−1)kk!\dfrac{(e^x-1)^k}{k!} ∑n=k∞S(n,k)xnn!\sum_{n=k}^{\infty}S(n,k)\dfrac{x^n}{n!} 第二类斯特林数（固定 kk）
(−ln(1−x))kk!\dfrac{(-ln(1-x))^k}{k!} $\sum_{n=k}^{\infty}\begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix}\dfrac{x^n}{n!}$ 第一类斯特林数（无符号）
ex+x22e^{x+\frac{x^2}{2}} ∑n=0∞Inxnn!\sum_{n=0}^{\infty}I_n\dfrac{x^n}{n!} 对合排列数（involution）
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  • @ 2026-7-9 7:12:17
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    @第五个应为

    ∑n=0∞anxn\sum _{n=0} ^{\infin} a^n x^n
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